对称点
点关于直线对称点
例 求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程.
即|11+c|=27,得c=16(即为已知直线,捨去)或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A(-8,0),则点A(-8,0)关于P(0,1)的对称点的B(8,2).
将B(8,2)代入,解得c=-38.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行,再由点(对称中心)到此两直线距离相等,而求出c,使问题解决,而解法二是转化为点关于点对称问题,利用中点坐标公式,求出对称点坐标,再利用直线系方程,写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
例 求直线l1:x-y-1=0关于直线l2:x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析 由题意,所给的两直线l1,l2为平行直线,求解这类对称总是,我们可以转化为点关于直线的对称问题,再利用平行直线系去求解,或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析,可设直线l的方程为x-y+c=0,在直线l1:x-y-1=0上取点M(1,0),则易求得M关于直线l2:x-y+1=0的对称点N(-1,2),
将N的坐标代入方程x-y+c=0,解得c=3,
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评 将对称问题进行转化,是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式,然后再在直线l2上的任取一点,在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.
关于对称点的画法
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