拉普拉斯定律

拉普拉斯（Laplace)定律P=2T/r。 P 代表肺泡回缩力，T代表表面张力，r代表肺泡半径。肺回缩力与表面张力成正比，与肺泡的半径成反比。

基本 介绍

中文名：拉普拉斯定律外文名：Laplace公式：P=2T/r举例：肺回缩力与表面张力成正比

定律介绍

拉普拉斯（Laplace)定律 P=2T/r 。 P 代表肺泡回缩力，T代表表面张力，r代表肺泡半径。肺回缩力与表面张力成正比，与肺泡的半径成反比。

Ⅱ型肺泡上皮细胞合成和释放肺泡表面活性物质（alveolar surfactant），然后分布于肺泡的内衬层的液膜，能随着肺泡的张缩而改变其分布浓度，用来减少肺泡表面张力。表面张力增加，大肺泡容易破裂小肺泡容易萎缩，不利于肺的稳定。

套用

拉普拉斯定律，是工程数学中常用的一种积分定律。它是为简化计算而建立的实变数函式和复变数函式间的一种函式变换。对一个实变数函式作拉普拉斯变换，并在複数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

定理

拉氏变换在大部分的套用中都是双射的，最常见的{\displaystyle f(t)}和{\displaystyle F(s)}组合常印製成表，方便查阅。拉普拉斯变换得名自法国天文学家暨数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace），他在机率论的研究中首先引入了拉氏变换。

拉氏变换和傅立叶变换有关，不过傅立叶变换将一个函式或是信号表示为许多弦波的叠加，而拉氏变换则是将一个函式表示为许多矩的叠加。拉氏变换常用来求解微分方程及积分方程。在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备。在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的转换，在时域中输入和输出都是时间的函式，在频域中输入和输出则是复变角频率的函式，单位是弧度每秒。

对于一个简单的系统，拉氏变换提供另一种系统的描述方程，可以简化分析系统行为的时间。像时域下的线性非时变系统，在频域下会转换为代数方程，在时域下的卷积会变成频域下的乘法。

意义与 作用

为简化计算而建立的实变数函式和复变数函式间的一种函式变换。对一个实变数函式作拉普拉斯变换，并在複数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可採用传递函式代替微分方程来描述系统的特性。这就为採用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

用 f(t)表示实变数t的一个函式，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变数s=σ+j&owega；的一个函式，其中σ和&owega; 均为实变数，j2=-1。F(s)和f(t)间的关係由下面定义的积分所确定：

如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛係数。对给定的实变数函式 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函式，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函式，记为f(t)=L-1[F(s)]。

函式变换对和运算变换性质　利用定义积分，很容易建立起原函式 f(t)和象函式 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在複数域内的运算间的对应关係。表1和表2分别列出了最常用的一些函式变换对和运算变换性质。

拉普拉斯变化的存在性：为使F(s)存在，积分式必须收敛。有如下定理：

如因果函式f(t)满足：（1）在有限区间可积，（2）存在σ0使|f(t)|e-σt在t→∞时的极限为0，则对于所有σ大于σ0，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。

编

发展 历史

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法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《机率的分析理论》中总结了当时整个机率论的研究，论述了机率在选举、审判调查、气象等方面的套用，并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的套用。

套用领域定理

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有些情形下一个实变数函式在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变数函式作拉普拉斯变换，并在複数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可採用传递函式代替常係数微分方程来描述系统的特性。这就为採用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。

套用拉普拉斯变换解常变数齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；线上性系统，控制自动化上都有广泛的套用。

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