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拉普拉斯定理

设在独立试验序列中,事件A在各次试验中发生的机率为p(0<p<1),随机变数η^n表示事件A在n次试验中发生的次数

公式

则有:

拉普拉斯定理

其中z为任意实数,q=1-p.
证:设随机变数ξ^i表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…),则ξ^i服从“0-1”分布,且有:

拉普拉斯定理

直接由列维定理就得此定理。

近似公式

在上述定理条件下,当n充分大时,η^n落在m1与m2之间的机率

拉普拉斯定理

注:此定理实际上说明了当n充分大时,二项分布B(n,p)逼近常态分配N(np,npq),这是因为η^n是服从二项分布B(n,p)的。

套用例子

某批产品的次品率为0.005,试求不多于70件的机率P。
解 设ξ表示在任意抽取的10000件产品中的次品数,则ξ服从二项分布B(10000,0.005)。此时若直接计算机率

拉普拉斯定理

这是较困难的。我们利用近似公式来计算,则
已知n=10000,p=0.005,q=0.995,np=50,

拉普拉斯定理

,故

拉普拉斯定理

模拟试验

独立同分布的n个随机变数之和的分布,当n越来越大时,逐渐接近常态分配,即两密度曲线越来越接近。我们用指数分布来试试看

拉普拉斯定理

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